飞行器空气动力学

第一讲：低速翼型的扰流特点

1.翼型的几何参数

1.1概述

【翼型】：以平行于机翼对称面截取机翼从而获得的截面。也成为翼剖面。

翼型的气动特性会直接影响到机翼及整个飞行器的气动特性。

翼型的分类：

分类	适用场合
圆头尖尾型	用于低速、亚音速和跨音速飞行的飞机机翼，以及低超音速飞行的超音速飞机机翼。
尖头尖尾型	用于较高超音速行的超音速飞机机翼导弹的弹翼

1.2翼型的几何参数

前缘点、后缘点、翼弦

翼型的尖尾点（后缘），距离后缘的距离最大的点（前缘），连接前、后缘的线（翼弦）。

弯度、厚度

以平行Y轴的线段截取翼型，相交线段的中间点将构成弧线，称为中弧线。
中弧线的无量纲坐标称为弯度分布函数。函数最大值点为相对弯度。
翼面到中弧线的y方向无量纲距离，称为厚度分布函数。其最大值的两倍称为相对厚度。

前缘半径、后缘尖锐度

对圆头翼型，用前缘的内切圆半径，表示前缘钝度。该内切圆的半称为前缘半径。前缘钝度=前缘半径/弦长。
后缘处上下翼面切线的夹角，称为后缘角，表示后缘的尖锐度。

【翼面无量纲坐标】：前缘点为坐标轴原点，弦线为X轴轴线

1.3常用低速翼型编号方法：

以NACA2412为例：

第一位数字——2，相对弯度2%

第二位数字——4，相对弯度位置在40%弦长处

最末两位数字——1、2，相对厚度12%

所有NACA四位数字翼型相对厚度位于30%弦长处。

2.翼型扰流特征

2.1翼型的空气动力系数

【翼型迎角】：在翼型平面上，来流和翼弦之间的夹角。

对弦线而言，来流上偏时迎角为正，来流下偏时迎角为负。

【飞机迎角】：来流方向和机身轴线的夹角。

分析机翼的气动特性时，可以在展向上取一单位展长的翼段进行。

$R$ 表现为压强和摩擦应力的合力。同时，又可以将其按照来流方向进行分解，分解为升力（垂直于来流方向的力， $L$ ）和阻力（平行于来流方向的力 $D$ ）。又可分解为法向力（垂直于翼弦方向的力， $N$ ）和轴向力（平行于翼弦方向的力， $A$ ）。

存在：

$L=Ncos\alpha -Asin\alpha \\D=Nsin\alpha -Acos\alpha$

【来流的动压】： $q_\infty=\frac{1}{2}\rho_\infty v^2_\infty$

升力系数：

$C_L=\frac{L}{q_\infty S}=\frac{L}{\frac{1}{2}\rho_\infty v^2_\infty \cdot b \cdot 1}$

$b \cdot 1$ ，即为单位展长翼段

阻力系数：

$C_D=\frac{D}{q_\infty S}=\frac{D}{\frac{1}{2}\rho_\infty v^2_\infty \cdot b \cdot 1}$

力矩系数：

$M_z=\frac{M}{q_\infty Sl}=\frac{M}{\frac{1}{2}\rho_\infty v^2_\infty \cdot b^2 \cdot 1}$

2.2翼型的流动特点

对于一个给定的翼型，在不同的迎角情况下，他的绕流特征是不一样的。

合适的迎角——稳流
临界失速迎角——气流分离
失速迎角——湍流

升力特性曲线表示：在一定范围内（迎角小于失速迎角），随迎角范围的增大，升力也将增大。

小迎角下，翼型绕流的压力分布及升力，与绕翼型的无粘位流的压力分布及升力无本质差别。
因此，不计粘性作用，用绕翼型的无粘位流可以近似求解翼型压力分布及升力。

绕翼型无粘位流的升力问题，遵循儒可夫斯基升力定理。

$Y=\rho V_\infty\Gamma$

式中：

$Y$ ——升力
$V_\infty$ ——来流速度
$\Gamma$ ——环量，流体的速度沿着一条闭曲线的路径积分。

2.3库塔—儒科夫斯基后缘条件

在给定的翼型和迎角，翼型的绕流速度环量必须满足使流动平滑的流过后缘。

对于尖后缘翼型：

后缘角大于0，后缘点即为后驻点，该点处 $v=0$ ；
后缘角等于0，后缘点点处流速为有限值；

对于实际的小圆弧后缘翼型

应当满足后缘点处没有载荷（上、下翼面速度相等）

该理论的本质是，确定了无粘性位流理论涉及的速度环量的唯一性。

3.薄翼型理论

3.1低速位流控制方程

符号及其表示：

符号	表示含义	引申
$\Phi$	速度位	速度位与速度的关系： $\bigtriangledown\Phi=(\frac{\partial \Phi}{\partial x},\frac{\partial \Phi}{\partial y})=(v_x,v_y)$
$\phi_\infty$	来流速度位
$\vec{n}$	翼面外法线单位矢量	单位外法矢分量： $\vec{n}=（n_x,n_y）$

翼型低速无粘位流的数学表示：

$\Delta \Phi=0$ ；拉普拉斯方程

$\bigtriangledown\Phi=0$ ；物面边界条件

$\Phi\rightarrow \phi _{\infty }$ ；速度位函数=来流速度位

本节中对于薄翼型绕流，将采用小扰动线性化近似的解析解法。

3.2速度位的线化分解

扰动速度位的线性方程：

翼型绕流速度位可以分解为直匀来流速度位和扰动速度位。
可以推导出，扰动速度位也满足拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 \phi }{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 \phi }{\partial^2 y}=0$

翼面边界条件的线化近似：

翼面x，y方向的流度分量k可以表示为： $v_{xw}$ ， $v_{yw}$

$\left [ \frac{\partial \phi }{\partial y}\mid _{=0} \right ]_{\text{上、下}}=V_{\infty }\left ( \frac{dy_f}{dx} \pm \frac{dy_c}{dx}-\alpha \right )$

式中： $\frac{dy_f}{dx}$ ，表征弯度；$ \frac{dy_c}{dx} $，表征厚度；$ \alpha$，表征来流迎角

压强系数的线化近似：

也可以分解为来流迎角引起的部分，翼型弯度、厚度引起的部分。

4.薄翼型理论——气动特性

4.1流动分解

薄翼小迎角不可压无黏位流流动问题的分解：

弯度影响——无迎角中弧线弯板绕流；（有升力）
厚度影响——无迎角厚度对称翼型绕流；（无升力）
迎角影响——有迎角的平板扰流；（有升力）

4.2迎角弯板问题（升力问题）：

分析时，通过布置面涡的方法进行求解

升力系数： $C_y=2\pi （\alpha-\alpha_0）$

式中： $\alpha_0$ ，零升迎角（升力系数为0时的迎角）

力矩系数： $m_z=m_{z0}-\frac{1}{4}C_y$

式中： $\alpha_0$ ，称为零升迎角

式中： $m_{z0}$ ，零升力矩系数（升力系数为0时的力矩系数）

【零升力线】：当迎角等于零升迎角时，翼型上有一条过后缘且平行于来流的直线，称为零升力线。
它与来流的夹角定义为翼型的绝对迎角。

几何含义：以零升力线来衡量来流，当来流在零升力线以下将产生正升力，当来流在零升力线以上将产生负升力。

4.3厚度问题

对于厚度问题可以通过布置面源来解决。

【面源】：由无限多根垂直于纸面、两端伸向无穷远的线源连续分布而成的曲面，这样的曲面线源，称为面源。

厚度问题所采用的是一个对称的翼型，无升力数值，但是依旧存在压强作用。

第二讲：低速翼型的一般气动特性和机翼的低速气动特性

1.低速翼型的一般气动特性

1.1面元法

【面元法】：任意翼型位流的数值解法

面元法的大意：

在翼型表面布面涡或面源并与直均流叠加可求解翼型的气动特性。

分割物面为有限多个小块（面元），每一个面元都是一个强度待定的面涡或者面源。

求解过程：

翼面分割，由后驻点沿逆时针对翼面进行切割；
布置面涡，在切割后的每一个小段上布置面涡；
定义速度位，第 $j$ 个面涡对第 $i$ 个控制点处的扰动速度位表示为：

$\begin{aligned} & d \phi_{i j}=-\frac{\gamma_j}{2 \pi} \int_{s_j} \theta_{i j} d s_j \\ & \theta_{i j}=\operatorname{tg}^{-1} \frac{y_i-y_j}{x_i-x_j} \end{aligned}$

总体速度位积分：

$\phi_i=-\sum_{j=1}^n \frac{\gamma_j}{2 \pi} \int_{s_j} \theta_{i j} d s_j$

求导速度，得到相应的法相扰动速度：

$\left(v_n^{\prime}\right)_i=\frac{\partial \phi_i}{\partial n_i}=-\sum_{j=1}^n \frac{\gamma_j}{2 \pi} \int_{s_j} \frac{\partial \theta_{i j}}{\partial n_i} d s_j$

加入边界条件：

$V_{\infty} \cos \beta_i-\sum_{j=1}^n \frac{\gamma_j}{2 \pi} \int_{s_j} \frac{\partial \theta_{i j}}{\partial n_i} d s_j=0$

式中：( $\beta$ 为来流与第 $\mathrm{i}$ 个面涡外法线的夹角)

加入后缘条件：$ \gamma _1=- \gamma _n $（面涡强度相同，方向相反）

得到了一个面涡强度的控制方程，再引入边界条件和后缘条件作为定解条件，可求面涡强度分布
由此，可以求得速度分布、压强分布，再由积分求得气动力和力矩特性

$v_{s i}=V_{\infty} \sin \beta_i+\frac{\gamma_i}{2}-\sum_{j=1}^n \frac{\gamma_j}{2 \pi} \int_{s_j} \frac{\partial \theta_{i j}}{\partial s_i} d s_j \quad\\ C_{p i}=1-\left(\frac{v_{s i}}{V_{\infty}}\right)^2$

1.2翼型气动特性

翼型气动特性的影响因素：

翼型的几何参数（厚度、弯度等）
翼型与气流间的相对运动（翼型迎角和来流速度）
流体的属性（如粘性）等

升力特性：

升力特性的一般表示形式：升力曲线。
升力特性中升力线斜率、零升迎角和最大升力系数是三个基本参数。

升力线斜率

雷诺数越大，对升力线斜率的影响越不明显。

工程估算升力线斜率：

$C_{y^\infty}^\alpha =1.8\pi(1+0.8\bar{c})$

式中： $\bar{c}$ ——相对厚度

零升迎角

【重要结论】零迎角时升力系数不一定为零；正迎角时升力系数不一定为正。

零升迎角是零升力线与弦线的夹角，正弯度时是一个小负数。
理论和实验均表明，它主要与弯度大小有关，可用薄翼型理论估算。

在工程估算时主要借助NACA翼型中参数和零升迎角的工程关系。

最大升力系数

失速迎角所对应的升力线斜率上升趋势的终点。

最大升力系数与附面层的分离密切相关，因此机翼表面光洁度和雷诺数对它有明显影响。

工程上，常用低速翼型的最大升力系数之的为1.3至1.7，随雷话数的增大而增大。

1.3力矩特性：

力矩特性曲线

升力特性曲线和力矩特性曲线关系的近似表达

$m_z=m_{z0}+m_z^{C_y}\cdot C_y$

式中： $m_{z0}$ ——零升力矩，正弯度时是小负数；

翼型的压心和焦点

压心（P）：升力的作用点，即升力作用线与弦线的交点。

焦点（F）：无论升力系数 $C_y$ 为何值，对该点的力矩系数值恒为 $m_{z0}$ 。

对于一般的翼型，压心位于焦点之后。

1.4阻力特性：

低速时，翼型的阻力由粘性引起，分为两部分：
由翼面粘性切应力造成的摩擦阻力，及由附面层存在改变位流压强分布引起的压差阻力。

翼型升力特性和阻力特性结合在极曲线中。
翼型的升力系数与阻力系数之比，称为翼型的升阻比。

2.机翼几何参数

2.1机翼平面形状

坐标系建立：

机翼按照平面投影形状分类：

矩形机翼（早期低速飞机多用）、椭圆形机翼、梯形机翼（现在较多）、后掠机翼、三角翼（高速飞行飞机）等。

2.2机翼几何参数

机翼展长： $L$ ，机翼z方向的最大长度，通常取机翼的横向特征长度

弦长： $b(z)$ ，机翼展向翼剖面的弦长，是展向位置z的函数。
有代表性的弦长是根弦长和尖弦长。

机翼面积： $S$ ，平面面积形状 $S=2\int_{0}^{\frac{1}{2}}b(z)dz$

气动计算中需要用到另外两个概念：

平均几何弦长： $b_{\text{平均}}=S/l$ ；几何平均弦长是面积和展长都与所讨论机翼相等的当量矩形翼的弦长

平均气动弦长： $b_A=\frac{2}{S}\int_{0}^{\frac{L}{2}}b(z)^2dz$ ；平均气动弦长是半翼面心位置处的弦长，并取为纵向力矩系数的参考长度

**后掠角：**某一特征线与Z轴的夹角，

前缘后掠角： $x_0$
后缘后掠角： $x_1$
1/4弦线后掠角： $X_{1/4}$
1/2弦线后掠角： $X_{1/2}$

展弦比： $\lambda =\frac{l^{2}}{S}=\frac{l}{b_{\text{平衡}}}$

跟梢比： $\eta =\frac{b_{0}}{b_{1}}$

**几何扭转角：**机翼任一展向位置处翼剖面弦线与翼根剖面弦线间的夹角，称为几何扭转角。
上扭为正，下扭为负

**气动扭转：**排除几何扭转，在不同剖面采用不同翼型，各剖面零升力线不一致形成气动上的扭转。

**上、下反角：**左右半个机翼翼弦平面与x0z平面（水平面）的夹角称为上（下）反角。
上、下反角的设置。上反角可以增加飞机航向的自稳特性，受到扰动发生扭转时，向下的机翼升力大，产生恢复力矩。
下反角可以使飞机更快地离开稳定状态，增加飞机的机动特性。

机翼与机身的相对位置：

机翼在机身下方——下单翼
机翼在机身中间——中单翼
机翼在机身上方——上单翼

3.毕奥-萨伐尔定律、直线涡的诱导速度和下洗

3.1毕奥-萨伐尔定律

直线涡的诱导速度：

【诱导速度】：流场中由旋涡存在而产生的速度

【毕奥-萨伐尔定律】：用于确定诱导速度的大小。

推导：

对于取一段有限长度的直线涡，其诱导速度：

$d v=\frac{\Gamma}{4 \pi} \frac{\sin \alpha}{r^2} d L$

扩展到整段直线线段：

$\begin{aligned} &v=\int_A^B d w=\frac{\Gamma}{4 \pi} \int_A^B \frac{\sin \alpha}{r^2} d L \\ &v=\frac{\Gamma}{4 \pi h} \int_{\alpha_1}^{a_2} \sin \alpha d \alpha=\frac{\Gamma}{4 \pi h}\left(\cos \alpha_1-\cos \alpha_2\right) \end{aligned}$

式中：$\Gamma $——表示涡强度；$ h$——空间点到直线涡的距离；

M点诱导速度的方向：垂直向内

再将直线线段由有限长度拓展到无限，

一端伸向无穷远直线涡情况下：

$\alpha_2 \rightarrow \pi, \alpha_1=\frac{\pi}{2} \quad v=\frac{\Gamma}{4 \pi h}$

两端伸向无穷远直线涡情况下

$\alpha_1 \rightarrow 0, \alpha_2 \rightarrow \pi \quad v=\frac{\Gamma}{2 \pi h}$

3.2下洗

【下洗】：指机翼产生升力时引发流经机翼的气流向下运动，这个向下的速度分量称为下洗，通常用 $w$ 表示。

机翼绕流尾涡结构的成因：
上、下翼表面的压强差，气流由下翼面的低压区翻转流向上翼面的高压区

实际上，沿飞机后沿将拖出一个较大的自由涡面。

实际流动的数学表示：

机翼绕流可用一根具有强度 $Γ(z)$ 的直的附著涡线（有限长度涡）和从附著涡向下游拖出的自由涡系（一端固定、一端伸向无穷远处的涡）来代替。

4.升力线

4.1升力线模型

**机翼绕流：**用一根具有强度 $Γ(z)$ 的直的附著涡线和从附著涡向下游拖出的自由涡系来代替。

**尾流：**假设自由涡系在机翼所处平面上，由许多根轴线平行于来流伸向下游无穷远处的直涡线所组成。

模型建立：

马蹄涡（$\Pi $形涡）：对应直匀流+单一涡线

一个无限长直线涡，两端向下折叠90度。等强度的附着涡和自由涡模型。

此模型涡强分布的变化并没有反映出来。

马蹄涡系与直均流叠加

构架直匀流 + 附着涡面 + 自由涡面模型

假设自由涡面不卷起也不耗散，顺着来流方向延伸到无穷远；附着涡面和自由涡面用无数条形马蹄涡模拟；

具有不同涡强度马蹄涡构成了模型，同时又满足机翼环量分布

该模型具有一定的合理性，

符合漩涡定理：沿一根涡线强度不变且不能在流体中中断。
升力作用表示：马蹄涡垂直来流那部分是附着涡系，可代替机翼的升力作用。
表征环量强度：沿展向各剖面上通过的涡线数目不同。表征沿展向翼展方向环量强度不一样。
中间剖面通过的涡线最多，环量最大；翼端剖面无涡线通过，环量为零。

模型简化，自由涡线

直匀流 + 附着涡线 + 自由涡面模型

涡线布置在机翼的1/4弦线上，其上个点实际强度不同。

模型建立过程简述：

由实际物理流动→气动模型→马蹄涡（$\Pi $形涡）模型→马蹄涡系与直均流叠加→简化（直匀流 + 附着涡线 + 自由涡面模型）

直匀流 + 附着涡线 + 自由涡面模型，该模型可以代替大展弦比直机翼的实际流动。

4.2升力线理论

按薄翼型理论，翼型的升力是迎角和弯度的贡献，可使用连续分布在中弧线（或近似分布在弦线）上、涡线两端伸向无限远的涡面来模拟。

翼型的总升力是与附着涡面的总强度成正比的。

从升力特性看，有限展弦比直机翼与无限展长机翼（翼型）的主要差别（三维效应），
体现在以下两个方面：

1)环量沿展向是变化的，机翼两端为零，中间最大；
2)机翼后存在一个从后缘拖出的自由涡面。

因低速翼型的升力增量在焦点（约在1/4弦点）处，因此附着涡线可放在展向各剖面的1/4弦点的连线上，此即为升力线。

第三讲：升力线理论和低速机翼的一般气动特性

1.升力线理论

【升力线理论】：基于升力线模型建立起来的机翼理论。

适用对象：

低速，无粘，位流（无旋流）理论
大展弦比机翼：展弦比>5
直机翼：后掠角<20°

作用：

快速、明确地给出机翼平面参数对机翼气动特性的影响
为大展弦比直机翼气动设计中的参数选择和性能计算提供了良好的理论依据

如果知道了升力线理论中的涡强分布函数 $\Gamma(z)$ ，那么就可以快速计算速度、压强等参数，进而可对气动力进行分析。

**【剖面假设】：**由于大展弦直机翼小迎角下的绕流中，各剖面上展向速度分量以及各流动参数随展向的变化较另外两个方向要小得多。
因此，可近似地把每个剖面上的流动看作是二维的，又由于自由涡的影响彼此不同。

该假设有助于推进二维翼型的基本概念在三维有限翼展机翼模型中的解释应用。

**【下洗速度】：**大展弦比直机翼展向剖面和二维翼型剖面的主要差别在于：自由涡系在展向剖面处引起一个向下（正升力时)的诱导速度，称为下洗速度。

$\text { 下洗速度 } v_{y i}(z)=-\frac{1}{4 \pi} \int_{-\frac{1}{2}}^{+\frac{1}{2}} \frac{d \Gamma}{\frac{d \Gamma}{d \zeta} d \zeta}$

**【下洗角】：**由于下洗速度的存在，机翼展向每个剖面上的实际有效风速为来流速度与下洗速度的矢量和，有效迎角也比几何迎角减小。

$$ \Delta \alpha_i=\operatorname{tg}^{-1} \frac{-v_{y i}(z)}{v_{\infty}} $$ 有效迎角：$ \alpha_e(z)=\alpha(z)-\Delta \alpha_i(z) $

这两个概念就表明：沿展向不同剖面处，当地迎角和当地速度是不同的。

图中表明：下洗速度翼梢最大，翼根最小；对于环量分布翼梢为0，翼根处存在最大值。

【气动力】:

根据剖面假设， $dz$ 宽度的机翼微段上所作用的空气动力合力标记为： $dR$ ，由库塔-儒可夫斯基定理确定，即：

$d R=\rho v_e \Gamma(z) d z \approx \rho v_{\infty} \Gamma(z) d z$

气动力在垂直和平行来流方向上的分量分别为升力和阻力。

$\begin{aligned} & d Y_i=d R \cos \Delta \alpha_i(z) \approx d R=\rho v_{\infty} \Gamma(z) d z \\ & d X_i=d R \sin \Delta \alpha_i(z) \approx d Y \bullet \Delta \alpha_i(z) \\ \end{aligned}$

阻力和升力在全翼展向上进行积分：

$\begin{aligned} & Y=\rho v_{\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{+\frac{1}{2}} \Gamma(z) d z \\ & X=\rho v_{\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{+\frac{1}{2}} \Gamma(z) \Delta \alpha_i d z \\ \end{aligned}$

**【诱导阻力】**这个阻力在理想二维翼型上是不存在的，它是由于有限翼展机翼后面存在自由涡而产生的，
或者说，是因为下洗角的出现使剖面有效迎角减小而在来流方向形成的阻力，故称为诱导阻力。

这个阻力的产生与粘性无关，而是有限翼展机翼获得升力是同时带来的。

2.椭圆形环量分布

如何确定升力线不同位置处 $\Gamma(z)$ 的数值：

求解大展弦比直机翼的升力和诱导阻力问题，归结为确定环量沿展向分布，在给定迎角和机翼几何形状条件下，求解环量分布的方程为：

$\Gamma(z)=\frac{1}{2} v_{\infty} C_{y \infty}^a b(z)\left[\alpha_a(z)-\frac{1}{4 \pi v_{\infty}} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\frac{d \Gamma}{d \zeta} d\zeta}{z-\zeta} \right].$

针对这一微分——积分方程，只在少数特珠情况下才能得到精确的解析解，椭圆形环量分布是其中最重要的一种。

椭圆形环量分布：

给定一个特解情况下的环量分布：

$\frac{\Gamma(z)}{\Gamma_0}=\sqrt{1-\left(\frac{2 z}{l}\right)^2}$

沿展向任一剖面处的诱导速度为：

$v_{y i}(z)=-\frac{\Gamma_0}{2 \pi l}\left[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}} \frac{(\zeta-z) d \zeta}{(\zeta-z) \sqrt{1-\left(\frac{2 \zeta}{l}\right)^2}}+z \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \frac{d \zeta}{(\zeta-z) \sqrt{1-\left(\frac{2 \zeta}{l}\right)^2}}\right] \\$

积分得到：

$v_{y i}(z)=-\frac{\Gamma_0}{2 \pi l}(\pi+I) \quad I=\int_{\frac{\frac{l}{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{d \zeta}{(\zeta-z) \sqrt{1-\left(\frac{2 \zeta}{l}\right)^2}}$

椭圆形环量分布，产生的下洗速度与下洗角：

$v_{y i}(z)=-\frac{\Gamma_0}{2l}\\ \Delta \alpha_i(z)=-\frac{v_{y i}(z)}{v_{\infty}}=\frac{\Gamma_\infty}{2lv_\infty}$

式中： $\Gamma_0$ ——表示一根剖面上的环量；
$l$ ——表示展长

结论：椭圆形环量分布时，沿展向的下洗速度和下洗角是常值。

椭圆形环量分布

气动力特性：机翼的升力等于剖面的升力

$C_y=\frac{Y}{\frac{1}{2} \rho v_{\infty}^2 S}=\frac{\int_{-\frac{1}{2}}^{+\frac{1}{21}} C_y^{\prime} \frac{1}{2} \rho v_{\infty}^2 b(z) d z}{\frac{1}{2} \rho v_{\infty}^2 S}=C_y^{\prime} \frac{\int_{\frac{1}{2}}^{+\frac{1}{2}} b(z) d z}{S}=C_y^{\prime}$

机翼的诱导阻力=剖面的诱导阻力

$C_{x i}=\frac{X_i}{\frac{1}{2} \rho v_{\infty}^2 S}=\frac{\int_{-\frac{1}{2}}^{+\frac{1}{21}} C_{x i} \frac{1}{2} \rho v_{\infty}^2 b(z) d z}{\frac{1}{2} \rho v_{\infty}^2 S}=C_{x i}^{\prime}$

三维翼展的气动特定与二维翼型的气动特性达成了一致。

具备椭圆形环量分布的椭圆形机翼沿展向不同位置处的下洗速度和下洗角为常量，机翼的升阻特性与翼型的升阻特性一致。
因而，该翼型在设计时具有一定的便利性，若设计为高升力翼型将具有良好的气动特性。
但因结构、工艺的复杂性及不适合高速飞行等不足，所以现时应用并不多。

3.低速翼型的一般气动特性

3.1一般机翼环量分布的求解思路

采用升力线理论，在给定迎角下求解非椭圆翼的环量分布，可以使用三角级数法

三角级数变换：

三角级数展开：

只要级数保留足够多的项数并选取相应系数，就可近似表示实际环量分布

系数的确定：

一般而言，取三角级数的四项已可近似表示实际的环量分布，只有当要求很高时需要多取项数。

若已求得环量分布，随后可以求解升力系数、升力线斜率、诱导阻力系数、

$C_y=\frac{C_{y x}^a}{1+\frac{C_{y x}^a}{\pi \lambda}(1+\tau)} \alpha_a \quad C_{x i}=\frac{C_y^2}{\pi \lambda}(1+\delta) \quad \Delta \alpha_i=\frac{C_y}{\pi \lambda}(1+\tau)$

3.2一般机翼气动特性

针对后掠翼和小展弦比机翼：升力线理论和剖面假设均不能正确地表达实际流动，因此不能用于气动特性计算与分析，该怎么办？

推导出升力面理论：

机翼沿展向和 $X$ 方向进行划分，每个划分出的格子都布置一个马蹄涡，
控制点取每个格子的3/4弦点，升力线布置在1/4弦线上。

一般平面形状大展弦比平直机翼的气动特性

升力特性：

除小展弦比机翼外，中小迎角下机翼的升力特性曲线均成直线关系。
因此，机翼的升力特性和翼型一样，也用零升迎角、升力线斜率和最大升力系数三个参数来表示。

【零升迎角】：零升迎角机翼升力为零时的迎角（从中间剖面弦线量起）当无任何扭转时，与翼型零升迎角相等；有扭转时，机翼零升迎角的绝对值比翼型零升迎角要小些。

【升力线斜率】：可以根据升力面理论推导。

【最大升力系数的工程估算方法】：首先计算出不同迎角下的剖面升力系数和机翼升力系数值假定，
只要有一个展向剖面处的升力系数达到翼型的最大升力系数，机翼即达失速此时的机翼升力系数就是最大升力系数。

第四讲：亚声速翼型和机翼的气动特性

1.可压位流问题的控制方程一速度位方程

1.1流动分类

分类依据	类别
粘性	无粘流、有粘流
可压缩性	可压流、不可压流（一般指低速）,流体的可压性实际表征表征流体的密度是否随时间而改变
按速度	低速（Ma<0.3）、亚音速（Ma<1）、跨音速（0.8-1.2）、超音速（Ma>1）、高超音速（Ma>5）

马赫数（Ma）：流动速度与音速之比。其本质表征的是流体的可压缩性

1.2速度位方程的建立

对不可压位流，速度位满足拉普拉斯方程个具体位流问题的解决，在数学上归结为求解给定边界条件的拉普拉斯方程。

对定常、等熵可压位流，由于连续方程中包含密度，速度位满足的方程不再是拉普拉斯方程了，而是一个非线性的偏微分方程。
等熵——表明流体的密度只与压强有关，正压流体。

从可压连续方程中可以完成对全速位方程的推导

$\left(1-\frac{v_x^2}{a^2}\right) \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\left(1-\frac{v_y^2}{a^2}\right) \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\left(1-\frac{v_z^2}{a^2}\right) \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \\ -2 \frac{v_x v_y}{a^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y}-2 \frac{v_y v_z}{a^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z}-2 \frac{v_z v_x}{a^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x}=0 \\$

由于方程是非线性的，对于有实际意义的物体形状（如机翼或机身等)的绕流问题，一般无解析解。
采用近似解法（比如小扰动线化的）及数值解法

2.小扰动线化理论

2.1速度位方程线化

**【小扰动研究的依据】：**小扰动指这些扰动的速度分量与来流相比都很小

研究情况设置，远前方直匀来流受到物体的扰动问题。
高速飞行的需要，机翼的相对厚度和弯度都比较小，且巡航阶段迎角也不大。

指定，来流速度$\vec{v}\infty $，扰动速度$ \vec{v}^‘ $合速度$ \vec{v}\infty +\vec{v}^‘ $,x方向分速度$ \vec{v}_\infty +\vec{v}^‘_x $，y方向分速度$ \vec{v}^‘ _y $，z方向分速度$ \vec{v}^‘ _z$

通过能量关系，建立音速与扰动速度的关系：

$a^2=a_{\infty}^2-\frac{\gamma-1}{2}\left(2 v_{\infty} v_x^{\prime}+v_x^{\prime 2}+v_y^{\prime 2}+v_z^{\prime 2}\right)$

简化处理：

将因数换为马赫数，略去高于一次的项，限制流动非跨音速流动（马赫数不太接近于1）亦非高超音速流动

写出简化后速度形式与速度位形式的方程

$\left(1-M_{\infty}^2\right) \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0 \\ \left(1-M_{\infty}^2\right) \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}=0$

对于二维平面情况，省略Z方向的流动

$\begin{aligned} &\beta^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0 \\ &\left(1-M_{\infty}^2\right) \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}=0 \\ &\beta^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0 \quad \beta^2=1-M_{\infty}^2 \end{aligned}$

该方程在数学形式上具有椭圆形的近似形式

2.2压强系数线化

压强系数的定义式

$C_p=-\left[\frac{2 v_x}{v_{\infty}}+\left(1-M_{\infty}^2\right) \frac{v_x^2}{v_{\infty}^2}+\frac{v_y^2+v_z^2}{v_{\infty}^2}\right]$

线化处理：

通过能量关系，建立压强与当地速度的关系；代入压强系数变换式；
多项式展开，保留到二阶；

对于薄翼，取一阶近似。这个就是常使用的压强系数线化表达结果

$C_p=-\frac{2 v_x}{v_{\infty}}=-\frac{2}{v_{\infty}} \frac{\partial \phi}{\partial x}$

2.3边界条件线化

边界条件包括：远场边界条件和物面边界条件。远方边界条件就是扰动速度为零。
物面边界条件：定常理想流体的物面边界条件是物面上任一点的合速度与物面相切，或者说，合速度在物面法线方向的分量为零。

指定：

中弧线板的外法线与坐标轴夹角的余弦分别为： $cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)$
合速度的分量分别为： $v_\infty+v_x，v_y，v_z$

由于物面边界条件始终满足： $\vec{V}\cdot \vec{n}=0$ ；这可以写为 $(v_\infty+v_x)cos(n,x)+v_ycos(n,y)+cos(n,z)v_z=0$

设中弧线的方程： $y=f(x,z)$

方向余弦可以改写为：

$\begin{aligned} & \cos (n, x)=\frac{-\frac{\partial f}{\partial x}}{\Delta} \quad \cos (n, y)=\frac{1}{\Delta} \quad \cos (n, z)=\frac{-\frac{\partial f}{\partial z}}{\Delta} \\ & \Delta=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+1+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^2} \end{aligned}$

带入物面边界条件，

$-\left(v_{\infty}+v_x\right) \frac{\partial f}{\partial x}+v_y-v_z \frac{\partial f}{\partial z}=0$

同时由于物体弯度较小，可以直接将物面假设在Y=0的平面上

$\left(v_y\right)_{y=0}=\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)_{y=0}=v_{\infty} \frac{\partial f}{\partial x}$

3.亚音速翼型气动特性

3.1仿射变换

速度位方程的比较：

$\begin{aligned} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0(\text{不可压流的控制方程，拉普拉斯方程})\\ &\beta^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0(\text{亚音速流的控制方程}) \end{aligned}$

两种流动的控制之间只相差 $\beta^2$ ，可以尝试利用数学工具完成两种流动之间的沟通

通过数学工具，做适当的坐标变换：将两式变换成相同形式（可压流形式化为不可压流形式)。
将边界条件和压强系数进行相应的变换。

如此一来，不可压流动的基本结论可以运用在可压流动的求解中。

x方向是1：1的等比例尺，而y方向比例尺跟X是不一样，这样的变换称为仿射变换；经这种变换所得的相应翼型是仿射相似的。

边界条件的变换：

远场边界：前方扰动速度必须为零的条件变换后仍然满足。

3.2亚音速翼型气动特性

薄翼型形状的变换：

经仿射变换后，翼型与流动区域也发生看相应的改变。

相对厚度、相对弯度、迎角均需要增加 $\beta$

对应点压强系数之间的关系：

压强系数：

$C_p=-\frac{1}{\beta^2} \frac{2}{v_{\infty}^{\prime} } \frac{\partial \phi^{\prime} }{\partial x^{\prime} }$

转换后：

$\left(C_p\right)_{M_{\infty}, \alpha, \bar{c}, \bar{f} }=\frac{1}{\beta^2}\left(C_p\right)_{0, \beta \alpha, \beta \bar{c}, \beta \bar{f} }$

简化思路：（薄翼型理论）

不可压流中扰动是由翼型的厚度、弯度和迎角三者所起扰动的叠加；而扰动的大小显然和翼型的厚度、弯度及迎角的大小成正比。

将不可压流翼型的厚度、弯度和迎角分别放大 $1/\beta$ 倍，其所引起的扰动速度及相应的压强系数也必然放大 $1/\beta$ 倍

简化：

$\begin{aligned} \left(C_p\right)_{M_{\infty}, \alpha, \bar{c}, \bar{f}}=\frac{1}{\beta}\left(C_p\right)_{0, \alpha, \bar{c}, \bar{f} } \end{aligned}$

==普朗特-葛劳渥法则：==

流过具有相同厚度和弯度的翼型，在相同的迎角下，亚音速流的压强系数只要将不可压流中对应点上的压强系数简单地乘以 $1/\beta$ 就可以得到。 $1/\beta$ 称为亚音速压缩性修正因子。

随之而推导的：升力系数和力矩系数也均满足。

$\begin{aligned} & \left(C_y\right)_{M_{\infty}, \alpha, \bar{c}, \bar{f}}=\frac{1}{\beta}\left(C_y\right)_{0, \alpha, \bar{c}, \bar{f}} \\ & \left(m_z\right)_{M_\alpha, \alpha, \bar{c}, \bar{f}}=\frac{1}{\beta}\left(m_z\right)_{0, \alpha, \bar{c}, \bar{f}} \\ \end{aligned}$

==【注记】：== $()_0$ ，速度项，表示低速不可压流； $()_{M_\infty }$ ，速度项马赫无穷，表示可压流

4.亚声速薄机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响

4.1仿射变换下的亚音速机翼

在原仿射变换的基础上，增加Z方向的变换$ {Z}'=\beta Z$，
可以在三维情况下将小扰动速度位满足的线性方程变换成拉普拉斯方程，
进而求得相应机翼之间平面几何参数存在的关系。

机强亚面形状：

亚音速流动中

根梢比：${\eta }'=\eta $，根梢比不变

展弦比：${\lambda }'=\beta \lambda $，对应不可压流中的机翼的展弦比较亚音速流中机翼的展弦比

后掠角： ${\chi }'=tg^{-1}(\frac{tg\chi }{\beta })$ ，后掠角则较亚音速流中机翼的后掠角大

4.2亚音速机翼气动特性

亚音速机翼的升力和俯仰力矩特性，同样可从相应不可压流中机翼的升力和俯仰力矩特性变换得到。

工程中，根据这个特性可以制作成曲线，供初始设计时查询。

4.3马赫数对机翼气动特性的影响

升力线斜率：

在亚音速范围内，同一平面形状的机翼，随着马赫数的增大(即$\beta \lambda $的减小)，机翼的升力线斜率将增大。
这是因为在同一迎角下，随着马赫数的增大，机翼上表面负压强的绝对值和下表面正压强的绝对值都按同一倍数增大，使机翼的升力线斜率值增大。

最大升力系数：

在亚音速范围内，机翼的最大升力系数与翼型的形状有关，一般随马赫数的增加而下降。
这是由于随马赫数的增大，翼型上表面最小压强点的压强降低得最多，使翼型后部的逆压梯度增大，使得在较小迎角下分离，从而导致最大升力系数随马赫数的增大而降低。

压力中心：

马赫数愈大，其所对应的不可压流机翼的展弦比愈小、后掠角愈大。

低速实验表明，展弦比愈小，机翼的压力中心位置愈靠前；而后掠角愈大，压力中心位置愈后移。这两种因素的作用是相反的。因此随马赫数的增大，压力中心的移动将由两者的作用综合而定。

来流临界马赫数：

当亚音速来流绕过翼型时，翼型表面上各点的流速是不同的，其中有些点上的流速大于来流速度并随与来流速度正相关。

【来流临界马赫数】：翼型表面上最大速度点的速度恰好达到当地音速，此时所对应的来流马赫数

第五讲：超声速线化理论

1.超音速翼型流动特征与线化理论

1.1薄翼型超音速绕流特征

相关概念：

【马赫数】：速度/音速；【薄翼型】：相对厚度 $<12\%$ ；
【马赫波】：超音速气流受到微小扰动而使气流方向产生微小变化，扰动的界面是马赫波。
【膨胀波】：超音速气流的基本变化之一，一种压强下降、密度下降，而流速上升的过程。
【激波】：气流的主要参数有显著的、突跃变化的那个地方。当激波的波阵面与来流方向垂直时，称之为正激波。

超声速翼型前缘：

为了减小波阻力，超音速翼型前缘最后做成尖的如菱形、四边形和双弧形等尖前缘。

但尖前缘在飞行其他阶段（起飞、着陆）会引起气流的前缘分离，使翼型的气动特性变坏。
尖头翼型在低速绕流、较小的迎角时，气流就有可能在前缘分离。

兼顾超声速飞机高速飞行的低速特性，目前低超音速飞机的翼型，其形状都为小圆头对称薄翼型。

双弧形翼型超音速绕流：

双弧形翼型：尖头尖尾、对称；相对厚度：10%；前缘半顶角 $\theta =11°20'$

小迎角状态下：

来流迎角小于半顶角，翼型前缘上下表面对于来流属于内折平板流动，所以激波产生
同时，由于上下平面内折角大小普通，形成激波强度也不尽相同，下表面激波强度更强，
压强差由此产生，升力也随之产生。

对于后缘处，气流过后缘应当要平行于来流方向。所以后缘处也产生激波，气流快速转弯。

翼型中间位置产生膨胀波（虚线）。
气流通过膨胀波压强将减小，所以翼型前缘压强强而后缘压强弱。
阻力由此产生。

中等迎角状态下：

来流迎角小于半顶角，翼型前缘下表面对于来流属于内折平板流动，所以下翼面激波产生；
而，上翼面则转变为外折平板流动，所以上翼面膨胀波产生；
升力产生

后缘情况则恰好相反，上翼面气流需要快速转弯调整方向，因此形成激波，
下翼面气流经过的是后缘点一系列的膨胀波

中间机翼依然布置为膨胀波，所以翼型前缘压强强而后缘压强弱，产生阻力

1.2超音速线化理论

【一级近以理论】：

为了减小波阻力，超音速飞机的机翼翼型厚度较薄的，弯度很小甚至为零，而且飞行时迎角较小，
因此机翼产生的激波，其强度也较弱。

根据一级近似理论，将膨胀波和激波均视为马赫波，并近似认为马赫波之间相互平行且与来流的夹角均为来流马赫角。

对超音速气流绕翼型的小扰动，可以导出翼型任意一点的压强系数为：

$C_p=\frac{2\theta }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}$

式中：$\theta $——翼型上某点的切线与x轴的夹角由于翼型比较薄，弯度比较小，除个别点外，翼型表面上各点的$ \theta $都比较小，可<u>近似用该点翼面的斜率来代替</u>，即$ \theta =\frac{dy}{dx}$。

由此，可求出超音速气流在翼型各点处的压强系数，其仅与来流马赫数和该点斜率有关。

图中显示，经一级线化理论处理后的结果在上翼面后缘和下翼面前缘处表现出高度近似
而在上翼面前缘（由于将激波退化为马赫波，导致压缩不足）和下翼面的后半部分（将膨胀波视为马赫波，显得膨胀有余）误差较大

一级近似理论的误差和局限被暴露在实验中。

【二级近似理论】：

若在压强系数表达式中保留 $\theta$ 的二次项，将得到较为精确的结果，此即所谓的二级近似理论.

$\begin{aligned} &C_p=C_1(\pm \theta )+C_2\theta^2\\ &C_1=\frac{2}{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}\\ &\mathrm{C}_2=\frac{\left(\mathrm{M}_{\mathrm{x}}^2-2\right)^2+\gamma \mathrm{M}_x}{2\left(\mathrm{M}_{\mathrm{x}}^2-1\right)^2} \end{aligned}$

2.超声速薄翼型绕流的气动特性

2.1线化理论应用

对超音速气流绕翼型的小扰动，可以导出翼型任意一点的压强系数。

压强系数与翼面斜率（ $\frac{dy}{dx}$ ）成线形关系

在线化理论范围内，翼型表面的压强系数，可认为是由以下三部分绕流所产生的压强系数叠加而成：

$C_p=C_{p\alpha }+C_{pf}+C_{pc}$

式中： $C_p$ ——压强系数
$C_{p\alpha }$ ——有迎角平板绕流
$C_{pf}$ ——零迎角弯板绕流
$C_{pc}$ ——零迎角厚度对称绕流

超音速流动翼型的载荷系数、气动力系数及总的气动力系数：分成平板、弯板和厚度三个问题分别求解，最后累加。

2.2气动特性

压力系数

平板绕流：

平板上表面为膨胀流动
平板下表面为压缩流动

由于是平板，标记$(\frac{dy}{dx})_\alpha =-\alpha $

上、下翼面的压强系数：

$\begin{aligned} &(C_{pu})=\frac{-2\alpha }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}\\ &(C_{pl})=\frac{2\alpha }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}} \end{aligned}$

载荷系数：

$(\Delta C_p)_\alpha=(C_{pu}-C_{pl})_\alpha=\frac{4\alpha }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}$

式中：$\alpha $——来流迎角

**弯板绕流：**上、下表面弯板斜率相同

上、下翼面的压强系数：

$\begin{aligned} &(C_{pu})_f=\frac{-2(\frac{dy}{dx})_f }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}\\ &(C_{pl})_f=\frac{2(\frac{dy}{dx})_f }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}} \end{aligned}$

载荷系数：

$(\Delta C_p)_f=(C_{pu}-C_{pl})_f=\frac{-4(\frac{dy}{dx})_f }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}$

**厚度绕流：**上、下表面斜率相反

上、下翼面的压强系数：

$\begin{aligned} &(C_{pu})_f=\frac{2(\frac{dy}{dx})_f }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}\\ &(C_{pl})_f=\frac{-2(\frac{dy}{dx})_f }{\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}} \end{aligned}$

载荷系数：

$(\Delta C_p)_c=(C_{pu}-C_{pl})_c=0$

升力系数

平板部分：

升力系数：

$\left(C_y\right)_\alpha=\frac{\mathrm{Y}_\alpha}{\mathrm{q}_{\infty} \mathrm{b}}=\frac{4 \alpha}{\sqrt{\mathrm{M}_{\infty}^2-1}} \\$

弯板部分：

升力系数：

$\mathrm{Y}_f=\int_0^b \frac{4\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_f}{\sqrt{\mathrm{M}_{\infty}^2-1}} q_{\infty} d x=0$

**厚度部分：**零攻角，厚度对称问题

升力系数：

$(C_y)_c=0$

总升力系数：

弯度和厚度对升力没有贡献，总升力系数$$

【问题】：超音速翼型为何多采用对称翼型或小弯度翼型？
根据近似理论，超音速薄翼型的弯度部分和厚度部分都不会产生升力，而仅由平板部分的迎角所产生

波阻力系数

平板部分：

$\mathrm{C}_{\mathrm{xb}}=\frac{4 \alpha^2}{\sqrt{\mathrm{M}_{\infty}^2-1}} \\$

弯板部分：弯度产生阻力不产生升力

$\left(\mathrm{C}_{\mathrm{xb}}\right)_f=\frac{4}{b \sqrt{\mathrm{M}_{\infty}^2-1}} \int_0^b\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_f^2 d x \\$

厚度部分：

$\left(\mathrm{C}_{\mathrm{xb}}\right)_{\mathrm{c}}=\frac{4}{b \sqrt{\mathrm{M}_{\infty}^2-1}} \int_0^b\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{c}}^2 d x \\$

总波阻力系数：

$\mathrm{C}_{\mathrm{xb}}=\left(\mathrm{C}_{\mathrm{xb}}\right)_\alpha+\left(\mathrm{C}_{\mathrm{xb}}\right)_f+\left(\mathrm{C}_{\mathrm{xb}}\right)_c \\ =\frac{4}{\sqrt{M_{\infty}^2-1}}\left\{\alpha^2+\frac{1}{b} \int_0^b\left[\left(\frac{d y}{d x}\right)_0^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)_f^2\right] d x\right\}$

薄翼型的波阻系数由两部分组成：
第一项：只与升力有关；
后两项：仅与薄翼型的弯度部分和厚度部分有关，称为零升波阻系数

俯仰力矩系数

平板部分：

$(M_z)_\alpha=-\frac{c_y}{2}$

弯板部分：

$(M_z)_f=\frac{-4 }{b^2\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}\int_{0}^{b}y_fdx$

厚度部分：

$(M_z)_c=0$

总波阻力系数：

$(M_z)_f=-\frac{c_y}{2}+\frac{-4 }{b^2\sqrt{M_{\infty }^{2}-1}}\int_{0}^{b}y_fdx$

压力中心位置

$\overline{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{b}}=-\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{z}}}{\mathrm{C}_{\mathrm{y}}}=\frac{1}{2}+\frac{4}{b^2 \sqrt{M_{\infty}^2-1}} \int_0^b \mathrm{y}_f d x$

焦点位置

$\bar{x}_{\mathrm{f}}=-\frac{\partial \mathrm{m}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{y}}}=\frac{1}{2}$

因为翼型焦点是由迎角所产生升力增量的作用点，对超音速薄翼型一级近似理论，
随迎角的变化，它的升力增量作用点始终在翼弦中点处。

【问题】：一个翼型从低速到超音速，焦点位置如何变化？

翼型在低速绕流时，其焦点位于弦长矩前缘的0.25处。
这就是说，分低速到超章速：焦点位置显著后移。这是研究飞机安定性和操纵性问题时必须注意的问题

第六讲：薄机翼超音速绕流，跨、超音速流

1.薄机翼超音速绕流基本知识

1.1机翼前后缘的重新定义

【马赫锥】：当波源（飞机）大于波速（声速）时，波面重叠形成锥状。
前马赫锥所围的区域，称为P点的依赖区，在该马赫锥内所有的扰动源，都能对P点产生影响；
后马赫锥所围的区域，称为P点的影响区，即P点如为扰动源，则后马赫推内所有的空间点，都要受到P点的影响

左侧P点为翼面前方空间吧中一点；右侧P点为机翼上一点。
其来流马赫锥阴影区域的任意一点均会对P点处的流场产生影响。

机翼边界的重新划分（前缘、后缘和侧缘）：

机翼与来流方向平行的直线段交于第一点边界称为机翼的前缘：

交于第二点的机翼边界，称为机翼的后缘；

与来流方向平行的机翼边界，称为侧缘。

1.2机翼超音速绕流基本概念

机翼边缘的性质：

如果前方来流相对于该缘的法向分速度大于来流音速，则该缘称为超音速缘（超音速前缘、超音速后缘）
同样，如小于亚流音速，则该缘称为亚音速缘（亚音速前缘、亚音速后缘）

二维流区和三维流区：

【二维流区】：仅受单一前缘的影响，类似于二维机翼（包括无限翼展或无限翼展斜置翼)的流场。
流动参数仅与翼型有关

【三维流区】：该区域中每个点的依赖区，包含不止一个缘的影响。
其流动参数不仅与翼型有关，还受到机翼平面形状的影响。

压强系数沿弦向分布的情况：

2.跨声速绕流的气动特性

2.1临界马赫数

翼型设计中，下临界马赫数是一个非常重要的设计参数。

当来流马赫数继续增大，超过临界马赫数（或下临界马赫数）时，
翼型表面上将产生局部超音速区和激波，翼型和机翼的气动特性将随之发生剧烈的变化。

2.2跨音速流动特征

若翼型上各点速度均小于下临界马赫数，流动可视为二维翼型流动；

若达到下临界马赫数，即翼型上最大声速点达到1，尾部出现亚音速流动；

若略超过下临界马赫数，上翼面将出现局部的超音速区域并伴随激波，其余翼面区域属于亚音速流动；

大于下临界马赫数接近 $Ma=1$ ，上翼面的超音速区域会扩大，下翼面也开始出现超音速区域（并且具有较上翼面更快的扩散速度）。

马赫数继续扩大至0.95，上翼面的超音速区域扩大接近翼型前缘点，激波接近机翼尾缘

马赫数最终大于1，前缘将出现弓形激波，前缘局部属于亚音速流动，其余区域全为超音速流动

纵向看，上翼面压强增大意味着升力会下降；
同时，下翼面区出现快速扩张的超音速区，那么上下翼面的压强差会使飞机波动的比较厉害。

横向看，出现了激波必然带来波阻力，阻力特性比较直观的看是会急剧增大。

跨音速流动的气动特性：

2.3超临界翼型

主受参数对跨音速流动特性的影响：

相对厚度越小，下临界马赫数越高
相对弯度越小，下临界马赫数越高。
后掠角越大，下临界马赫数越高。

提高机翼临近马赫数的设计思想，厚度：薄机翼；弯度：小弯度；后掠角：大后掠；展弦比：小展弦比

3.高超音速流的基本知识

3.1高超音速基本特征

高超音速：指马赫数大于5的流动（约每小时6000公里以上)

高超音速绕流是极高马赫数下的绕物体的流动。这样的流动将与亚音速或跨音速区别；
这些区别可以归纳为由于马赫数非常高而产生的流体力学上的特征和流动能量很大而引起的流体物理或化学特征

高超音速基本特征：

薄激波层、粘性干扰、低密度效应、高温和真实气体效应、气动加热问题

基本特征	特征解说
薄激波层	超音速气流饶过物体，在头部将产生激波。当物形一定时，随来流马赫数的增加，头激波角减小。对高超音速流，激波与物面之间的区域—激波层将变得很薄。
粘性干扰	由于激波层很薄，在很多情况下层内几乎完全是粘性流区。在高超音速流动时激波与附面层（特别是粘性附面层）对无粘流的干扰变得十分强烈和严重。
真实气体效应	高超音速下，空气被视为多组元、组分组成的气体；由于强激波对气体的加热，使得气流的温度上升，组分发生物理化学变化（氧气、氮气分解为原子，电离），气体也偏离完全气体状态，比热比变化。气流受高温开始发生分解、复合、电离作用，这时候绕飞行器外部的流动是带电粒子的流动，阻碍无线电通讯，出现“黑障”。
气动加热	在高温情况下，过激波之后的组分发生严重变化，气体温度急速升高，物面附面层内气流受到粘性滞止，气体微团的动能转变为热能造成壁面附近气温的升高，高温空气将不断向低温物面传热。
低密度效应	低密度效应最直接的结果是我们一直沿用的连续气体模型不再适用（分子平均自由程与飞行器尺度相当），存在温度跳跃及速度滑移等现象。

3.2高超音速飞行器发展趋势

高超音速飞行器发展趋势不再是航天器、弹道导弹等飞行器再入的特有问题。

大气层内，长航时远程高超音速飞行器是近年来的研究热点。
气动力、气动热与热结构耦合问题
推进系统
飞控与导航

随着科学技术的发展，实用高超声速飞行器将很快出现。

第七讲：计算流体力学初步知识

1.计算流体力学的基本概念

1.1计算流体力学的基本概念

流动控制方程

质量守恒——连续方程
动量守恒——动量方程
能量守恒——能量方程

这三者组合，得到N-S方程组

N一S方程数学表达式：

式中：

守恒变量

无粘通量

粘性通量

剪切应力

热流

总能

压强

流体力学中的流动模型型及流场解：

流场环境	求解理论	求解方法
低速不可压位流	基本解：解析解与基本解叠加	升力线、升力面、面元法、涡格法
亚声速或超声速位流	小扰动线化	仿射变换由不可压解求得
N-S方程Euler方程	高度非线性无解析解	数值解法(CFD)